Question

椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是   .

Answer 1

3a²

试题分析：设椭圆的右焦点为E．如图：

由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（4a-AE）+（4a-BE）=8a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，当AB过点E时取等号；
∴AB+AF+BF=8a+AB-AE-BE≤8a；
即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；
此时△FAB的高为：EF=2a．
此时直线x=m=c=1；
把x=1代入椭圆的方程得：y=±．
∴AB=3a．所以：△FAB的面积等于：S_△FAB=
×3a×EF=×3a×2a=3a²故答案为3a²
点评：中档题，在解决涉及到圆锥曲线上的“焦点三角形”问题时，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式．