Question

【题目】如图所示，游乐场中摩天轮匀速逆时针旋转，每转一圈需要6min，其中心距离地面40.5m，摩天轮的半径为40m，已知摩天轮上点P的起始位置在最低点处，在时刻t（min）时点P距离地面的高度为f（t）=Asin（wt+φ）+h（A＞0，w＞0，﹣π＜φ＜0，t≥0）．
（1）求f（t）的单调区间；
（2）求证：f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得A=40， =6，∴ω= ，φ=﹣ ，h=40.5，

故f（t）=40sin（ t﹣ ）+40.5=40.5﹣40cos t，

令2kπ≤ t≤2kπ+π，求得6k≤t≤6k+3，可得函数的增区间为[6k，6k+3]，k∈Z；

令2kπ+π≤ t≤2kπ+2π，求得6k+3≤t≤6k+6，可得函数的减区间为[6k+3，6k+6]，k∈Z

（2）解：证明：∵f（t）=40.5﹣40cos t，

∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=121.5﹣40[cos t+cos（ t+ ）+cos（ t+ ）]．

又 cos t+cos（ t+ ）﹣cos（ t+ ）=cos t﹣cos（ t﹣ ）﹣cos（ t+ ）

=cos t﹣cos t﹣ sin t+ sin t=0，

∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=121.5﹣40×0=121.5，显然为定值，

故要证得结论成立

【解析】（1）利用正弦函数的图象和性质，求得f（t）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得f（t）的单调区间．（2）利用诱导公式、两角和差的三角公式化简 f（t）+f（t+2）+f（t+4），可得结论．