Question

【题目】已知函数 .

（1）求的单调区间；

（2）当时，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为（﹣∞，0），单调减区间为（0，+∞）．（2）

【解析】试题分析：（1）先求出的定义域，再利用导数判断的单调性，
（2）分类参数可得 ，利用导数求出 的最值或极限即可得出的范围．

试题解析：（1）令g（x）=xex，则g′（x）=ex（1+x），

∴当x＜﹣1时，g′（x）＜0，当x＞﹣1时，g′（x）＞0，

∴g（x）≥g（﹣1）=﹣，即xex≥﹣＞﹣1，

∴xex+1＞0恒成立，

∴f（x）的定义域为R．

f′（x）==，

令f′（x）＞0得x＜0，令f′（x）＜0得x＞0，

∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），单调减区间为（0，+∞）．

（2）当x＞0时，f（x）＞0，ax2+1＞0（a≥0），

∵，

∴a＞﹣+（x＞0），

令h（x）=﹣+（x＞0），

则h′（x）=﹣+﹣=，

令p（x）=2ex﹣2﹣x﹣xex（x＞0），则p′（x）=ex﹣1﹣xex，

∴p″（x）=﹣xex＜0，

∴P′（x）在（0，+∞）上单调递减，∴p′（x）＜p′（0）=0，

∴p（x）在（0，+∞）上单调递减，∴p（x）＜p（0）=0，

∴h′（x）＜0，

∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，

又h（x）=，

∴==，

∴h（x）＜，

∴a≥.