Question

过点M(2，－2p)作抛物线x²＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是________．

Answer 1

1或2

设点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，依题意得，y′＝，切线MA的方程是y－y₁＝ (x－x₁)，即y＝x－.又点M (2，－2p)位于直线MA上，于是有－2p＝×2－，即x₁²－4x₁－4p²＝0；同理有x₂²－4x₂－4p²＝0，因此x₁，x₂是方程x²－4x－4p²＝0的两根，则x₁＋x₂＝4，x₁x₂＝－4p².由线段AB的中点的纵坐标是6得，y₁＋y₂＝12，即＝＝12，＝12，解得p＝1或p＝2.