题目内容
【题目】如图,直三棱柱中,
,
,
,
分别为
,
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)已知与平面
所成的角为30°,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)取中点
,连接
、
,根据题目条件,利用线面垂直的判定定理,得出
平面
,由于
为
中点,
,
,可证出四边形
为平行四边形,得出
,从而可证出
平面
;
(2)设,
,根据(1)可知,
平面
,则
到平面
距离
,设
到面
距离为
,根据三棱锥等体积法有
,得
,得
,因为
与平面
所成的角为30°,可求出
,结合线面垂直的判定定理证出
平面
,进而得出
为二面角
的平面角,只需求出
,即可求出二面角
的余弦值.
解:(1)取中点
,连接
、
,
∵∴
,
∵平面
,
平面
,
∴,
而平面
,
平面
,
∴平面
,
∵为
中点,∴
,
,
∴,
,
∴四边形为平行四边形,∴
.
∴平面
.
(2)设,
,
则,
,
,
∴
∴,
,
到平面
距离
,设
到面
距离为
,
由,得
,
即,得
,
因为与平面
所成的角为30°,
所以,
而在直角三角形中,
,
所以,解得
.
因为平面
,
平面
,
所以,
又平面
,
平面
,所以
,
所以平面
,
∵平面
,
平面
所以为二面角
的平面角,
而,
可得四边形是正方形,所以
,
则,
所以二面角的余弦值为
.
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