Question

18．已知数列{x_n}的首项x₁，通项公式x_n=2ⁿp+np（n∈N⁺，p，q为常数），且x₁，x₄，x₅成等差数列，求：
（1）p，q的值；
（2）数列{x_n}的前n项的和S_n的公式．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）由x₁=3，得2p+q=3，
∵x₁，x₄，x₅成等差数列，
∴x₁+x₅=2x₄，
又${x_4}={2^4}p+4q$，${x_5}={2^5}p+5q$，
∴3+2⁵p+5q=2⁵p+8q，
解得q=1，
p=1，
∴p=q=1．
（2）由（1）得${x_n}={2^n}+n$，
$\begin{array}{l}{S_n}=（{2+1}）+（{{2^2}+2}）+（{{2^3}+3}）+…+（{{2^n}+n}）\\ \;\;\;\;=（2+{2^2}+…+{2^n}）+（1+2+…+n）\end{array}$
∴S_n=${2^{n+1}}-2+\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．