题目内容

8．已知f1（x）=sinx+cosx，f n+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=fn′（x），n∈N*，则f1（x）+f2（x）+…+f 2011（x）=（　　）
A．-sinx+cosxB．sinx-cosxC．-sinx-cosxD．sinx+cosx

分析 根据题意和求导公式依次求出f2（x）、f3（x）、f4（x）、f 5（x），求出函数的周期，利用周期性求出式子的和．

解答 解：由题意得，f1（x）=sinx+cosx，
∴f2（x）=f1′（x）=cosx-sinx，f3（x）=f2′（x）=-sinx-cosx，
f4（x）=f3′（x）=-cosx+sinx，f5（x）=f4′（x）=sinx+cosx，…，
∴fn（x）的周期是4，且f1（x）+f2（x）+f3（x）+f 4（x）=0，
f1（x）+f2（x）+…+f 2011（x）=502[f1（x）+f2（x）+f3（x）+f 4（x）]+f1（x）+f2（x）+f3（x）
=（sinx+cosx）+（-sinx+cosx）+（-sinx-cosx）=-sinx+cosx，
故选：A．

点评 本题考查求导公式和法则，以及函数周期性的应用，属于基础题．

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