Question

6．设函数f（x）=lg（x²+ax-a-1），给出下述命题：
①函数f（x）的值域为R；
②函数f（x）有最小值；
③当a=0时，函数f（x）为偶函数；
④若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围a≥-4．
正确的命题是（　　）

• A． ①③④
• B． ②③
• C． ②④
• D． ①③

Answer 1

分析 由已知中函数f（x）=lg（x²+ax-a-1），我们易判断出其真数部分的范围，结合对数函数的性质可判断①与②的真假，由偶函数的定义，可判断③的正误，再由复合函数单调性的判断方法及函数的定义域，可判断④的对错．进而得到结论．

解答 解：∵u=x²+ax-a-1的最小值为-$\frac{1}{4}$（a²+4a+4）≤0
∴①函数f（x）的值域为R为真命题；
但函数f（x）无最小值，故②错误；
当a=0时，易得f（-x）=f（x），即③函数f（x）为偶函数正确；
若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，
则-$\frac{a}{2}$≤2，且4+2a-a-1＞0，解得a＞-3，故④错误；
故选：D．

点评 本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点、对数函数的定义和值域、偶函数及复合函数的单调性，是一道函数的综合应用题，其中④中易忽略真数部分必须大于0，而错判为真命题．