题目内容

13.设数列{an}的通项公式为an=4n-2
(1)设cn=$\frac{{a}_{n}+2}{{2}^{{a}_{n}}}$,求数列{cn}的前n项和Sn
(2)设bn=$\frac{4}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn<$\frac{m}{20}$对所有n∈N*都成立的最小正整数m的值.

分析 (1)cn=$\frac{{a}_{n}+2}{{2}^{{a}_{n}}}$=$\frac{4n}{{2}^{4n-2}}$=$\frac{n}{1{6}^{n-1}}$,利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出;
(2)bn=$\frac{4}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$,利用“裂项求和”与不等式的性质即可得出.

解答 解:(1)cn=$\frac{{a}_{n}+2}{{2}^{{a}_{n}}}$=$\frac{4n}{{2}^{4n-2}}$=$\frac{n}{1{6}^{n-1}}$,
∴数列{cn}的前n项和Sn=$\frac{1}{1}+\frac{2}{16}+\frac{3}{1{6}^{2}}$+…+$\frac{n}{1{6}^{n-1}}$,
∴$\frac{1}{16}{S}_{n}$=$\frac{1}{16}+\frac{2}{1{6}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{1{6}^{n-1}}$+$\frac{n}{1{6}^{n}}$,
∴$\frac{15}{16}{S}_{n}$=1+$\frac{1}{16}+\frac{1}{1{6}^{2}}$+…+$\frac{1}{1{6}^{n-1}}$-$\frac{n}{1{6}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{1{6}^{n}}}{1-\frac{1}{16}}$-$\frac{n}{1{6}^{n}}$,
∴Sn=$\frac{256}{225}$-$\frac{256+225n}{225•1{6}^{n}}$.
(2)bn=$\frac{4}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$,
∴数列{bn}的前n项和Tn=$\frac{1}{2}[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$+…+$(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})]$=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$,
∵使得Tn<$\frac{m}{20}$对所有n∈N*都成立,
∴$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$$<\frac{m}{20}$,
∴m≥10,
因此使得Tn<$\frac{m}{20}$对所有n∈N*都成立的最小正整数m的值为10.

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、“裂项求和”与不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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