Question

5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+2）=f（x），当x∈（0，1]时，f（x）=1-2|x-$\frac{1}{2}$|，则方程f[f（x）]=$\frac{5}{4（x-1）}$在区间[-1，3]内的所有不等实根之和为（　　）

• A． 6
• B． 8
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）的图象关于原点对称，为周期为2的函数，求得一个周期的解析式和图象，由图象平移可得[-1，3]的图象，再由y=$\frac{5}{4（x-1）}$的图象关于（1，0）对称，即可得到所求根的和．

解答 解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+2）=f（x），
即有函数f（x）关于原点对称，周期为2，
当x∈（0，1]时，f（x）=1-2|x-$\frac{1}{2}$|，
即有当x∈[-1，0）时，f（x）=-1+2|x+$\frac{1}{2}$|，
由图象的平移可得在区间[-1，3]内的函数f（x）的图象，
进而得到y=f（f（x））的图象，再由y=$\frac{5}{4（x-1）}$的图象
关于（1，0）对称，可得它们有6个交点，都关于（1，0）对称，
则它们的和为2×3=6．
故答案为：A．

点评 本题考查函数和方程的关系，考查函数的性质和运用，主要考查奇偶性和周期性、对称性的运用，属于中档题．