Question

17．设f（x）=x³-3x²+6x-6，且f（a）=1，f（b）=-5，则a+b等于（　　）

• A． -2
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由f（x）=x³-3x²+6x-6可将f（x）变形为f（x）=（x-1）³+3（x-1）-2然后根据f（a）+f（b）=-4可得（a-1）³+3（a-1）+（b-1）³+3（b-1）=0，注意到此方程的对称性可构造函数F（x）=x³+3x，则上式可变形为F（a-1）=-F（b-1）故需判断出函数F（x）的奇偶性和单调性即可求解．

解答 解：∵f（x）=x³-3x²+6x-6
∴f（x）=（x-1）³+3（x-1）-2
∵f（a）+f（b）=-4，
∴（a-1）³+3（a-1）+（b-1）³+3（b-1）=0①
令F（x）=x³+3x，
则F（-x）=-F（x）
∴F（x）为奇函数，
∴①式可变为F（a-1）=-F（b-1），
即F（a-1）=F（1-b）
∵F（x）=x³+3x为单调递增函数
∴a-1=1-b，
∴a+b=2
故选：D．

点评 本题主要考查利用函数的单调性和奇偶性进行求值．解题的关键是先将函数f（x）=x³-3x²+6x-6变形为f（x）=（x-1）³+3（x-1）-2（这也是求解此题的突破点）然后利用所得到的式子①构造函数F（x）=x³+3x最后利用函数F（x）的单调性奇偶性即可求解．