题目内容

【题目】如图1,四边形ABCD为矩形,BC=2ABEAD的中点,将ABEDCE分别沿BECE折起得图2,使得平面平面BCE,平面平面BCE.

1)求证:平面平面DCE

2)若F为线段BC的中点,求直线FA与平面ADE所成角的正弦值.

【答案】1)证明见解析;(2.

【解析】

1)证明平面ABE,平面平面DCE即得证;

(2)以点E为坐标原点,EB,EC所在的直线分别为轴,轴建立空间直角坐标系,设,利用向量法求直线FA与平面ADE所成角的正弦值得解.

1)证明:在图1中,BC=2AB,且EAB的中点,

,同理.

所以

又平面平面BCE,平面平面

所以平面ABE,又平面

所以平面平面DCE.

(2)

如图,以点E为坐标原点,EB,EC所在的直线分别为轴,轴建立空间直角坐标系,设

.

向量,设平面ADE的法向量为

,得,令

得平面ADE的一个法向量为

设直线FA与平面ADE所成角为

所以直线FA与平面ADE所成角的正弦值为.

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