Question

15．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的左右焦点分别为F₁、F₂，若双曲线C的右支上存在一点P，使得（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，O为坐标原点，且|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=λ|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，则实数λ等于（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设点P（3$\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{8}}$，m），由（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0解出 m，根据双曲线的第二定义得e=$\frac{\sqrt{17}}{3}$=$\frac{|P{F}_{2}|}{3\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{8}}-\frac{9}{\sqrt{17}}}$，求出|PF₂|的值，再利用第一定义求出|PF₁|的值，即得λ值．

解答 解：由题意得a=3，b=2$\sqrt{2}$，
∴c=$\sqrt{17}$，F₁（-$\sqrt{17}$，0），F₂ （$\sqrt{17}$，0），
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$．
设点P（3$\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{8}}$，m），
∵（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（3$\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{8}}$+$\sqrt{17}$，m）•（3$\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{8}}$-$\sqrt{17}$，m）
=9（1+$\frac{{m}^{2}}{8}$）-17+m²=0，
m²=$\frac{64}{17}$，m=±$\frac{8\sqrt{17}}{17}$．
由双曲线的第二定义得 e=$\frac{\sqrt{17}}{3}$=$\frac{|P{F}_{2}|}{3\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{8}}-\frac{9}{\sqrt{17}}}$，
∴|PF₂|=2，
∴|PF₁|=2a+|PF₂|=8，∴λ=$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$═4，
故选：A．

点评 本题考查两个向量坐标形式的运算，双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．