Question

20．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x与圆心在第二象限的圆C相切于原点O，且圆C与圆C′：x²+y²-2x-2y-6=0的面积相等．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使点Q到定点F（4，0）的距离等于线段OF的长？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圆C与圆C′：x²+y²-2x-2y-6=0的面积相等，得到圆C的半径r=2$\sqrt{2}$，设圆C的圆心为C（a，b），由已知得点O（0，0）在圆C上，且OC垂直于直线y=x，由此能求出圆心C（a，b），从而能求出圆C的方程．
（Ⅱ）假设存在点Q满足题意，设Q（x，y），则由点Q在圆C上且点Q到定点F（4，0）的距离等于线段OF的长列出方程组，由此能求出存在点Q，使点Q到定点F（4，0）的距离等于线段OF的长．

解答 解：（Ⅰ）圆C′：x²+y²-2x-2y-6=0的方程转化为（x-1）²+（y-1）²=8，（2分）
∵圆C与圆C′：x²+y²-2x-2y-6=0的面积相等，∴两圆的半径相等，∴圆C的半径r=2$\sqrt{2}$，
设圆C的圆心为C（a，b），则圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=8，
∵直线y=x与圆心在第二象限的圆C相切于原点O，
∴点O（0，0）在圆C上，且OC垂直于直线y=x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=8}\\{\frac{b}{a}=-1}\end{array}\right.$，解得a=2，b=-2或a=-2，b=2，
∵点C（a，b）在第二象限，∴a＜0，b＞0，∴a=-2，b=2，
∴圆C的方程为（x+2）²+（y-2）²=8．（6分）
（Ⅱ）假设存在点Q满足题意，设Q（x，y），则有$\left\{\begin{array}{l}{（x-4）^{2}+{y}^{2}=16}\\{（x+2）^{2}+（y-2）^{2}=8}\end{array}\right.$，（8分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}}\\{y=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍），
∴存在点Q（$\frac{4}{5}，\frac{12}{5}$），使点Q到定点F（4，0）的距离等于线段OF的长．（12分）

点评 本题考查圆的方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的方程、两点间距离公式的合理运用．