题目内容

【题目】某芯片公司为制定下一年的研发投入计划,需了解年研发资金投入量(单位:亿元)对年销售额(单位:亿元)的影响.该公司对历史数据进行对比分析,建立了两个函数模型:①,②,其中均为常数,为自然对数的底数.

现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据,,并对这些数据作了初步处理,得到了右侧的散点图及一些统计量的值.令,经计算得如下数据:

(1)设的相关系数为的相关系数为,请从相关系数的角度,选择一个拟合程度更好的模型;

(2)(i)根据(1的选择及表中数据,建立关于的回归方程(系数精确到0.01);

(ii)若下一年销售额需达到90亿元,预测下一年的研发资金投入量是多少亿元?

附:①相关系数,回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

② 参考数据:

【答案】(1)模型的拟合程度更好;(2)(i);(ii)亿元.

【解析】

1)由相关系数求出两个系数,比较大小可得;

2)(i)先建立关于的线性回归方程,从而得出关于的回归方程;

(ii)把代入(i)中的回归方程可得值.

本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性.

解:(1)

,因此从相关系数的角度,模型的拟合程度更好

(2)(i)先建立关于的线性回归方程.

,得,即

由于

所以关于的线性回归方程为

所以,则

(ii)下一年销售额需达到90亿元,即

代入得,

,所以

所以

所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元

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