题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
,底面
为直角梯形,
,
,
,
为线段
上一点.
(I)若,求证:
平面
;
(II)若,
,异面直线
与
成
角,二面角
的余弦值为
,求
的长及直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(I)证明见解析;(II),直线
与平面
所成角的正弦值为
.
【解析】
(I)过点作
,交
于点
,连接
,通过证明四边形
为平行四边形得出
,然后利用线面平行的判定定理可得出结论;
(II)证明出平面
,过点
作
交
于点
,并以点
为坐标原点,
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系,设
,利用空间向量法结合二面角
的余弦值为
求出
的值,再利用空间向量法可求出直线
与平面
所成角的正弦值.
(I)过点作
,交
于点
,连接
,
,
,
,
,
,
,所以,四边形
为平行四边形,则
,
平面
,
平面
,
平面
;
(II)异面直线
与
成
角,即
,
,
,
平面
,
,过点
作
交
于点
,以点
为坐标原点,
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
设,则
、
、
、
,
,
,
,
设平面的法向量为
,则
,
取,则
,
,则
,
同理可得平面的一个法向量为
,
由于二面角的余弦值为
,
则,解得
,
所以,,易知平面
的一个法向量为
,
设直线与平面
所成角为
,则
,
因此,直线与平面
所成角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某芯片公司为制定下一年的研发投入计划,需了解年研发资金投入量(单位:亿元)对年销售额
(单位:亿元)的影响.该公司对历史数据进行对比分析,建立了两个函数模型:①
,②
,其中
均为常数,
为自然对数的底数.
现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额
的数据,
,并对这些数据作了初步处理,得到了右侧的散点图及一些统计量的值.令
,经计算得如下数据:
(1)设和
的相关系数为
,
和
的相关系数为
,请从相关系数的角度,选择一个拟合程度更好的模型;
(2)(i)根据(1的选择及表中数据,建立关于
的回归方程(系数精确到0.01);
(ii)若下一年销售额需达到90亿元,预测下一年的研发资金投入量
是多少亿元?
附:①相关系数,回归直线
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
;
② 参考数据:,
,
.