题目内容
【题目】已知函数(
,
为自然对数的底数).
(1)若函数存在极值点,求
的取值范围;
(2)设,若不等式
在
上恒成立,求
的最大整数值.
【答案】(1);(2)3
【解析】
(1)求出导函数,将题目转化为解决导函数的零点问题;
(2)分离参数解决恒成立,讨论函数
的最值即可求解.
(1)的定义域为
,
.
因为函数存在极值点,所以
在
上有解.
当时,
,
所以,经检验,
当时,
得
由得
,由
得
,
所以函数在
单调递增,
单调递减,符合条件函数
存在极大值点,.
所以的取值范围为
.
(2)因为,所以
.
不等式在
上恒成立,可等价转化为
对任意
恒成立.
令,则
.
令,则
.
所以在
上单调递增.
因为,
,
所以存在使
,即
.
所以当时,
,即
;当
时,
,即
.
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
由,得
.
所以,
所以,所以
的最大整数值为3.
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练习册系列答案
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(单位:亿元)的影响.该公司对历史数据进行对比分析,建立了两个函数模型:①
,②
,其中
均为常数,
为自然对数的底数.
现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额
的数据,
,并对这些数据作了初步处理,得到了右侧的散点图及一些统计量的值.令
,经计算得如下数据:
(1)设和
的相关系数为
,
和
的相关系数为
,请从相关系数的角度,选择一个拟合程度更好的模型;
(2)(i)根据(1的选择及表中数据,建立关于
的回归方程(系数精确到0.01);
(ii)若下一年销售额需达到90亿元,预测下一年的研发资金投入量
是多少亿元?
附:①相关系数,回归直线
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
;
② 参考数据:,
,
.