题目内容
【题目】设,函数
.
(1)求函数的单调区间;
(2)设,若
有两个相异零点
,
,且
,求证:
.
【答案】(1)当时,
的单调递增区间是
,无单调递减区间;当
时,
的单调递减区间是
,单调递增区间是
;(2)证明见解析.
【解析】
(1)求导,分,
两种情况讨论导函数正负,即得解;
(2)由,构造
,结论
,可转化为
,构造函数
,分析单调性研究单调性,即可证.
(1),
,
当时,
,函数
在区间
上是增函数;
当时,令
,解得
,则函数
在区间
上是减函数,在区间
上是增函数.
综上得:当时,函数
的单调递增区间是
,无单调递减区间;
当时,函数
的单调递减区间是
,单调递增区间是
.
(2)由题意得,.
因为,
是方程
的两个不同的实数根,所以
,两式相减得
,解得
.
要证:,即证:
,即证:
,
即证:,
令(因为
),则只需证
.
设,∴
;
令,∴
,
在
上为减函数,
∴,∴
,
在
为增函数,
.
即在
上恒成立,∴
.
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练习册系列答案
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(单位:亿元)的影响.该公司对历史数据进行对比分析,建立了两个函数模型:①
,②
,其中
均为常数,
为自然对数的底数.
现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额
的数据,
,并对这些数据作了初步处理,得到了右侧的散点图及一些统计量的值.令
,经计算得如下数据:
(1)设和
的相关系数为
,
和
的相关系数为
,请从相关系数的角度,选择一个拟合程度更好的模型;
(2)(i)根据(1的选择及表中数据,建立关于
的回归方程(系数精确到0.01);
(ii)若下一年销售额需达到90亿元,预测下一年的研发资金投入量
是多少亿元?
附:①相关系数,回归直线
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
;
② 参考数据:,
,
.