Question

已知二次函数同时满足：
①不等式的解集有且只有一个元素；
②在定义域内存在，使得不等式成立.
数列的通项公式为.
（1）求函数的表达式； 
（2）求数列的前项和.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）首先根据二次函数的开口方向以及不等式的解集只有一个元素这些条件得到，结合函数在区间上的单调性得出的值，进而求出函数的解析式；（2）先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求数列的前项和.
试题解析：（1），且不等式的解集有且只有一个元素，
则，解得或，
又由于定义域内存在，有，则函数在区间上不是增函数，
因此，所以，；
（2），
所以
.