Question

【题目】已知函数f(x)＝log2(x＋m)，且f(0)、f(2)、f(6)成等差数列.
（1）求f(30)的值.
（2）若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：由f(0)、f(2)、f(6)成等差数列，得

2log2(2＋m)＝log2m＋log2(6＋m)，

即(m＋2)2＝m(m＋6)(m＞0).

∴m＝2，

∴f(30)＝log2(30＋2)＝5.

（2）

【解答】

证明：f(a)＋f(c)＞2f(b).

证明如下：

2f(b)＝2log2(b＋2)＝log2(b＋2)2，

f(a)＋f(c)＝log2[(a＋2)(c＋2)]，

又b2＝ac，

∴(a＋2)(c＋2)－(b＋2)2＝ac＋2(a＋c)＋4－b2－4b－4＝2(a＋c)－4b.

∵ (a≠c)，

∴2(a＋c)－4b＞0，

∴log2[(a＋2)(c＋2)]＞log2(b＋2)2，

即f(a)＋f(c)＞2f(b).

【解析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是（1）根据等差数列性质求得m,然后计算即可；(2)首项求得2f(b)＝2log2(b＋2)＝log2(b＋2)2 ， f(a)＋f(c)＝log2[(a＋2)(c＋2)]，如何根据所给条件结合不等式性质作差比较大小即可.