题目内容
【题目】已知直线l:kx﹣y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.
【答案】
(1)解:直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,
故无论k取何值,直线l总过定点(﹣2,1).
(2)解:直线l的方程可化为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,
要使直线l不经过第四象限,则 ,
解得k的取值范围是k≥0.
(3)解:依题意,直线l在x轴上的截距为﹣ ,在y轴上的截距为1+2k,
∴A(﹣ ,0),B(0,1+2k),
又﹣ <0且1+2k>0,
∴k>0,故S= |OA||OB|=
×
(1+2k)
= (4k+
+4)≥
(4+4)=4,
当且仅当4k= ,即k=
时,取等号,
故S的最小值为4,此时直线l的方程为x﹣2y+4=0.
【解析】1、由特殊值法可求出直线l总过定点(﹣2,1)。
2、根据题意把直线的方程化为斜截式,由斜率和y轴上的截距限制直线l不经过第四象限,即得k的取值范围。
3、根据题意可求得,直线l在x轴上的截距和在y轴上的截距,由已知x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,所以得到k的取值范围;利用基本不等式可求得S的最小值为4,当且仅当4k= ,即k=
时成立,故求得S的最小值为4,此时直线l的方程为x﹣2y+4=0。
【考点精析】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用的相关知识点,需要掌握用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”才能正确解答此题.
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