题目内容
【题目】若数列同时满足:①对于任意的正整数
,
恒成立;②对于给定的正整数
,
对于任意的正整数
恒成立,则称数列
是“
数列”.
(1)已知判断数列
是否为“
数列”,并说明理由;
(2)已知数列是“
数列”,且存在整数
,使得
,
,
,
成等差数列,证明:
是等差数列.
【答案】(1)是(2)见解析
【解析】试题分析:(1)根据定义验证两个条件是否成立,由于函数为分段函数,所以分奇偶分别验证(2)根据定义数列隔项成等差,再根据单调性确定公差相等,最后求各项通项,根据通项关系得数列通项,根据等差数列证结论
试题解析:(1)当为奇数时,
,所以
.
.
当为偶数时,
,所以
.
.
所以,数列是“
数列”.
(2)由题意可得: ,
则数列,
,
,
是等差数列,设其公差为
,
数列,
,
,
是等差数列,设其公差为
,
数列,
,
,
是等差数列,设其公差为
.
因为,所以
,
所以,
所以①,
②.
若,则当
时,①不成立;
若,则当
时,②不成立;
若,则①和②都成立,所以
.
同理得: ,所以
,记
.
设
,
则
.
同理可得: ,所以
.
所以是等差数列.
【另解】
,
,
,
以上三式相加可得: ,所以
,
所以
,
,
,
所以,所以
,
所以,数列是等差数列.
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