题目内容
【题目】从数列中取出部分项组成的数列称为数列
的“子数列”.
(1)若等差数列的公差
,其子数列
恰为等比数列,其中
,
,
,求
;
(2)若,
,判断数列
是否为
的“子数列”,并证明你的结论.
【答案】(1)3n﹣1﹣n(2)见解析
【解析】
(1)运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式,求得首项和公差的关系,可得等比数列的公比,结合等比数列的通项公式,可得kn=23n﹣1﹣1,再由数列的分组求和,即可得到所求和;
(2)数列{bn}为{an}的“子数列”.由3k﹣2=4n,可得3k=4n+2,运用二项式定理即可得证.
(1)等差数列{an}的公差d≠0,其子数列{a}恰为等比数列,
其中k1=1,k2=5,k3=17,可得aa1,a
a5,a
a17,
且有a52=a1a17,即(a1+4d)2=a1(a1+16d),
化为a1=2d,则an=a1+(n﹣1)d=(n+1)d,
子数列{a}为首项为2d,公比为
3的等比数列,
则a2d3n﹣1=(kn+1)d,可得kn=23n﹣1﹣1,
则k1+k2+…+kn=(2+6+…+23n﹣1)﹣n
n=3n﹣1﹣n;
(2)若an=3n﹣2,bn=4n,数列{bn}为{an}的“子数列”.
由3k﹣2=4n,可得3k=4n+2,
由4n=(1+3)n=1+C3+C
32+…+3n,
即有4n+2=3(1+CC
3+…+3n﹣1),显然为3的倍数,
故数列{bn}为{an}的“子数列”.
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