题目内容
【题目】已知圆的标准方程为
,圆心为
,直线
的方程为
,点
在直线
上,过
点作圆
的切线
,
,切点分别为
,
.
(1)若,试求点
的坐标;
(2)若点的坐标为
,过
作直线与圆
交于
两点,当
时,求直线
的方程;
(3)求证:经过,
,
三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
【答案】(1)或
;(2)
或
;(3)详见解析.
【解析】
试题(1)点在直线
上,设
,由对称性可知
,可得
,从而可得点
坐标.(2)分析可知直线
的斜率一定存在,设其方程为:
.由已知分析可得圆心到直线
的距离为
,由点到线的距离公式可求得
的值.(3)由题意知
,即
.所以过
三点的圆必以
为直径.设
,从而可得圆的方程,根据
的任意性可求得此圆所过定点.
试题解析:解:(1)直线的方程为
,点
在直线
上,设
,
由题可知,所以
,
解之得:故所求点
的坐标为
或
.
(2)易知直线的斜率一定存在,设其方程为:
,
由题知圆心到直线
的距离为
,所以
,
解得,或
,
故所求直线的方程为:
或
.
(3)设,则
的中点
,因为
是圆
的切线,
所以经过三点的圆是以
为圆心,以
为半径的圆,
故其方程为:
化简得:,此式是关于
的恒等式,
故解得
或
所以经过三点的圆必过定点
或
.
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