题目内容
1.已知函数f(x)=2$\sqrt{3}$sinxcosx+1-2sin2x,x∈R,将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$,把所得到的图象再向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求:(Ⅰ)函数g(x)的解析式和单调递增区间;
(Ⅱ)函数g(x)在区间[-$\frac{π}{6}$,-$\frac{π}{24}$]上的最值.
分析 (Ⅰ)利用两角和差的正弦公式化简f(x)的解析式,再根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式;再利用余弦函数的单调性求得g(x)的增区间.
(Ⅱ)由x∈[-$\frac{π}{6}$,-$\frac{π}{24}$],利用余弦函数的定义域和值域求得g(x)在区间[-$\frac{π}{6}$,-$\frac{π}{24}$]上的最值.
解答 解:(Ⅰ)把函数f(x)=2$\sqrt{3}$sinxcosx+1-2sin2x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin(2x+$\frac{π}{6}$),x∈R的图象上各点的纵坐标保持不变,
横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$,可得y=2sin(4x+$\frac{π}{6}$),x∈R的图象;
再把所得到的图象再向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度,得到函数y=g(x)=2sin[4(x+$\frac{π}{6}$)+$\frac{π}{6}$]=2sin(4x+$\frac{5π}{6}$)=2cos(4x+$\frac{π}{3}$)的图象.
即g(x)=2cos(4x+$\frac{π}{3}$).
令2kπ-π≤4x+$\frac{π}{3}$≤2kπ,求得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$,可得g(x)的增区间为[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{3}$,$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$],k∈Z.
(Ⅱ)由x∈[-$\frac{π}{6}$,-$\frac{π}{24}$],可得4x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{6}$],故当4x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$时,g(x)=2cos(4x+$\frac{π}{3}$)取得最小值为1;
当4x+$\frac{π}{3}$=0时,g(x)=2cos(4x+$\frac{π}{3}$)取得最大值为2.
点评 本题主要考查两角和的正弦公式,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的定义域和值域,单调性,属于中档题.
A. | n2 | B. | n2+n | C. | 2n2+3n | D. | n2+$\frac{5}{2}n$ |
A. | 若y=f(x)在[1,2]上是增函数,则y=f-1(x)在[1,2]上也是增函数 | |
B. | 若y=f(x)是奇函数,则y=f-1(x)也是奇函数 | |
C. | 若y=f(x)是偶函数,则y=f-1(x)也是偶函数 | |
D. | 若y=f(x)的图象与y轴有交点,则y=f-1(x)的图象与y轴也有交点 |