Question

13．在数列{b_n}中，b₁=2，b_n+1=$\frac{3{b}_{n}+4}{2{b}_{n}+3}$（n∈N^*），求b₂，b₃，试判定b_n与$\sqrt{2}$的大小，并加以证明．

Answer 1

分析 b₁=2，b_n+1=$\frac{3{b}_{n}+4}{2{b}_{n}+3}$（n∈N^*），可得b₂=$\frac{3×2+4}{2×2+3}$=$\frac{10}{7}$，b₃=$\frac{58}{41}$．猜想b_n$＞\sqrt{2}$．利用数学归纳法证明即可．

解答 解：∵b₁=2，b_n+1=$\frac{3{b}_{n}+4}{2{b}_{n}+3}$（n∈N^*），
∴b₂=$\frac{3{b}_{1}+4}{2{b}_{1}+3}$=$\frac{3×2+4}{2×2+3}$=$\frac{10}{7}$，
b₃=$\frac{3{b}_{2}+4}{2{b}_{2}+3}$=$\frac{58}{41}$．
猜想b_n$＞\sqrt{2}$．
下面利用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，b₁=2＞$\sqrt{2}$成立．
（2）假设当n=k∈N^*时，b_k$＞\sqrt{2}$．
则b_k+1=$\frac{3{b}_{k}+4}{2{b}_{k}+3}$=$\frac{3（{b}_{k}+\frac{3}{2}）-\frac{1}{2}}{2{b}_{k}+3}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{4{b}_{k}+6}$＞$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{4\sqrt{2}+6}$=$\sqrt{2}$．
∴当n=k+1时，不等式b_n$＞\sqrt{2}$．
综上可得：?n∈N^*，b_n$＞\sqrt{2}$．

点评 本题考查了数列的递推式、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．