Question

2．已知A={x|x²-6x+8＜0}，B={x|（x-a）（x-3a）＜0}．
（1）若A⊆B，求a的取值范围；
（2）若A∩B=∅，求a的取值范围；
（3）若A∩B=（3，4），求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出A中不等式的解集确定出A，分类讨论a的正负，表示出B中不等式的解集确定出B，根据A为B的子集，确定出a的范围即可；
（2）由A与B的交集为空集，确定出a的范围即可；
（3）由A与B的交集，确定出a的范围即可．

解答 解：（1）由A中不等式解得：2＜x＜4，即A=（2，4），
当a＞0时，B中不等式解得：a＜x＜3a，即B=（a，3a），
∵A⊆B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a≥4}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{4}{3}$≤a≤2；
当a＜0时，B中不等式解得：3a＜x＜a，即B=（3a，a），
∵A⊆B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a≤2}\\{a≥4}\end{array}\right.$，无解，
综上，a的范围为$\frac{4}{3}$≤a≤2；  
（2）若B=（a，3a），由A∩B=∅，得到3a≤2或a≥4，
解得：a≤$\frac{2}{3}$或a≥4，
此时a的范围为0＜a≤$\frac{2}{3}$；
若B=（3a，a），由A∩B=∅，得到3a≥4或a≤2，
解得：a≥$\frac{4}{3}$或a≤2，
此时a的范围为a＜0，
综上，a的范围为a＜0或0＜a≤$\frac{2}{3}$；
（3）若a＞0时，B=（a，3a），
∵A∩B=（3，4），A=（2，4），
∴a=3；
若a＜0，B=（3a，a），
∵A∩B=（3，4），A=（2，4），
∴a=1，不合题意，舍去，
综上，a的值为3．

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．