题目内容
【题目】以边长为4的等比三角形的顶点
以及
边的中点
为左、右焦点的椭圆过
两点.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)过点且
轴不垂直的直线
交椭圆于
两点,求证直线
与
的交点在一条直线上.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:
(1)先建立直角坐标系,使椭圆方程为标准方程,则
(2)研究圆锥曲线的定值问题,一般方法为以算代证,即先求两直线交点坐标,再确定交点所在定直线:由对称性可知两直线交点必在垂直于x轴的直线上,因此运算目标为求交点横坐标为定值,设的方程为
,
,则
:
,
:
,消去y得
,再利用直线方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理可得
,
,代入化简得
试题解析:(1) 由题意可知两焦点为与
,且
,因此椭圆的方程为
. (4分)
(2) ① 当不与
轴重合时,
设的方程为
,且
,
联立椭圆与直线
消去
可得
,即
,
设,
则:
①
:
②
②-①得
则,即
.
②当与
轴重合时,即
的方程为
,即
,
.
即:
①
:
②
联立①和②消去可得
.
综上与
的交点在直线
上.
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