Question

【题目】已知O为原点，A，B，C为平面内的三点．求证：

(1) 若A，B，C三点共线，则存在实数α，β，且α＋β＝1，

(2) 若存在实数α，β，且α＋β＝1，使得，则A，B，C三点共线．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析:（1）由三点共线可得向量共线：,再转化为向量,整理可得关于，根据分解定理可得 ，即证得α＋β＝1（2）逆推（1），将条件，转化为向量关系，根据向量共线得三点共线

试题解析：证明：(1) 由A，B，C三点共线，知与共线，所以存在λ∈R，使＝λ，即－＝λ(－)，得＝λ＋(1－λ)，令λ＝β，1－λ＝α，则α＋β＝1，＝α＋β.

(2) 由＝α＋β＝(1－β)＋β，得－＝β(－)，即＝β，β∈R，

∴与共线．

又有公共点A，故A，B，C三点共线．