Question

【题目】已知函数是奇函数（）.

（1）求实数的值；

（2）试判断函数在上的单调性，并证明你的结论；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）单调递增，见解析（3）

【解析】

（1）根据函数是定义在上的奇函数，由求得的值.

（2）由（1）求得的解析式，利用单调性的定义，任取，计算，由此证得在上递增.

（3）根据的单调性和奇偶性化简不等式，得到对任意恒成立，利用一元二次不等式恒成立则其判别式为负数列不等式，解不等式求得的取值范围.

（1）∵是奇函数在原点有定义：

∴，

∴；经验证满足题意

（2）在上单调递增，证明如下：

设，则：

；

∵，

∴，；

∴；

∴是上的增函数；

（3）由（1）、（2）知，是上的增函数，且是奇函数；

∵，

∴；

∴；

即对任意恒成立；

只需；

解之得；

∴实数的取值范围为.