Question

【题目】如图,在长方体中,点分别是棱,上的动点,,直线与平面所成的角为,则△的面积的最小值是________.

Answer 1

【答案】8

【解析】

以C为原点，CD，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系，设P（0，a，0），Q（b，0，0），求出平面PQC′的法向量，则由解出a,b的关系式，利用基本不等式得出的面积的最小值，再利用等体积法求出△的面积的最小值.

以C为原点，CD，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则C（0，0，0）， 设P（0，a，0），Q（b，0，0），于是0＜a≤4，0＜b≤3．

设平面PQC′的一个法向量为 则

，令z=1，得

，

，解得ab≥8(当且仅当时等号成立)，
∴当ab=8时，S△PQC=4，棱锥C′-PQC的体积最小，
∵直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，∴C到平面PQC′的距离d=2

∵VC′-PQC=VC-PQC′，.