题目内容
【题目】如图，四棱锥
中， 
⊥底面
， 
， 
为
上一点
．
（1）证明： 
∥平面
；
若
， 
，求二面角
的正弦值．
【答案】(1)见解析(2) 
【解析】试题分析：（1）在
上取点
，使
，根据平几知识得四边形
是平行四边形，即得
,最后根据线面平行判定定理证得
∥平面
（2）利用空间向量求二面角,先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组求各面法向量,根据向量数量积求两法向量夹角,最后根据二面角与法向量夹角关系得结果
试题解析：证明：（1）在
上取点
，使
，
则
， 
，
则四边形
是平行四边形，则
，
则平面
∥平面
，∵
平面
，
∴
∥平面
（2）
是正三角形，建立以
为坐标原点的空间直角坐标系如图：
则
所以
设平面
的法向量为
则由
得
令
则
，
则
同理得平面
的法向量为
则
则二面角
的正弦值
【题目】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位： 
）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间
，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 |
|
|
|
|
|
|
天数 | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量
（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为
（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时， 
的数学期望达到最大值？
【题目】某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制)，剔除平均分在30分以下的学生后，共有男生300名，女生200名．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，得到如下所示频数分布表.
分数段 | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
男 | 3 | 9 | 18 | 15 | 6 | 9 |
女 | 6 | 4 | 5 | 10 | 13 | 2 |
(I)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果看，能否判断数学成绩与性别有关；
(II)规定80分以上为优分(含80分)，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”. （
,其中
）
