Question

14．过双曲线$M：{x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$左顶点A作斜率为1的直线l．若l与双曲线M两条渐近线分别相交于点B、C，且B是AC中点，则双曲线M离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 由双曲线方程可得A的坐标和直线l的方程与双曲线的渐近线联立求得B和C的横坐标，进而根据B是AC中点，求得b的值，即可求得c，最后根据离心率公式答案可得．

解答 解：由题可知A（-1，0），所以直线L的方程为y=x+1
两条渐近线方程为y=-bx或y=bx
联立y=x+1和y=-bx得B的横坐标为x_B=-$\frac{1}{b+1}$
同理得C的横坐标为x_C=$\frac{1}{b-1}$
∵B是AC中点，
∴2x_B=x_A+x_C，
即有-$\frac{1}{b+1}$•2=-1+$\frac{1}{b-1}$
解得b=3或0（舍去0）
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$
故选：D

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题的能力．