Question

2．求函数y=$\frac{2{x}^{2}+7x-1}{{x}^{2}+3x}$（x＞1）的最大值．

Answer 1

分析 运用变量分离法和换元法，令x-1=t（t＞0），y=2+$\frac{t}{（t+1）（t+4）}$=2+$\frac{1}{t+\frac{4}{t}+5}$，运用基本不等式即可得到最大值．

解答 解：函数y=$\frac{2{x}^{2}+7x-1}{{x}^{2}+3x}$（x＞1）
=$\frac{2{x}^{2}+6x+x-1}{{x}^{2}+3x}$=2+$\frac{x-1}{x（x+3）}$
令x-1=t（t＞0），则x=1+t，
则y=2+$\frac{t}{（t+1）（t+4）}$=2+$\frac{1}{t+\frac{4}{t}+5}$≤2+$\frac{1}{5+2\sqrt{t•\frac{4}{t}}}$=2+$\frac{1}{9}$=$\frac{19}{9}$，
当且仅当t=2，即x=3时，取得最大值$\frac{19}{9}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意变量分离法和换元法，以及基本不等式的运用，属于中档题．