Question

10．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+a是奇函数，
（1）求a的值．
（2）判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）若对于任意t∈R，不等式f（t²-6t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）是R上的奇函数，则f（0）=0，即可求a的值．
（2）f（x）是R上的减函数，利用定义加以证明；
（3）由于f（x）是R上的减函数且为奇函数，故不等式f（t²-6t）+f（2t²-k）＜0可化为f（t²-6t）＜f（k-2t²）所以t²-6t＞k-2t²即k＜3t²-6t=3（t-1）²-3恒成立，即可求k的取值范围．

解答 解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，则f（0）=0
即$\frac{2}{1+1}+a=0$，所以a=-1
又f（-x）=-f（x）成立，所以a=-1（3分）
（2）f（x）是R上的减函数．
证明：设x₁＜x₂，$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}-1-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}+1=\frac{{2（{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}）}}{{（{{2^{x_1}}+1}）（{{2^{x_2}}+1}）}}$
因为x₁＜x₂，所以${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}$，故f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）是R上的减函数；                                  （7分）
（3）由于f（x）是R上的减函数且为奇函数
故不等式f（t²-6t）+f（2t²-k）＜0可化为f（t²-6t）＜f（k-2t²）
所以t²-6t＞k-2t²即k＜3t²-6t=3（t-1）²-3恒成立
所以k＜-3k的取值范围为（-∞，-3）

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．