题目内容

设a为实常数,函数y=2x2+(x-a)|x-a|.
(1)当x=0时,y≥1,试求实数a的取值范围.
(2)当a=1时,求y在x≥a时的最小值;当a∈R时,试写出y的最小值(不必写出解答过程).
(3)当x∈(a,+∞)时,求不等式y≥1的解集.
(1)因为当x=0时,y≥1,故,-a|a|≥1
a<0
a2≥1
⇒a≤-1;
(2)当a=1时,y=3x2-2x+1(x≥1).
函数在[1,+∞)上为增函数,
故y在x≥1的最小值为y=3•12-2•1+1=2;
当a∈R时,
若x≥a,则y=3x2-2ax+a2ymin=
2a2(a≥0)
2a2
3
(a<0)

若x≤a,则y=x2+2ax-a2ymin=
-2a2(a≥0)
2a2(a<0)

综上,当a∈R时,ymin=
-2a2(a≥0)
2a2
3
(a<0)

(3)x∈(a,+∞)时,由y≥1,得3x2-2ax+a2-1≥0,△=4a2-12(a2-1)=12-8a2
a≤-
6
2
a≥
6
2
时,△≤0,x∈(a,+∞);
-
6
2
<a<
6
2
时,△>0,得:
(x-
a-
3-2a2
3
)(x-
a+
3-2a2
3
)≥0
x>a

讨论得:当a∈(
2
2
6
2
)
时,解集为(a,+∞);
a∈(-
6
2
,-
2
2
)
时,
解集为(a,
a-
3-2a2
3
]∪[
a+
3-2a2
3
,+∞)

a∈[-
2
2
2
2
]
时,
解集为[
a+
3-2a2
3
,+∞)
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