Question

【题目】如图，一个角形海湾AOB，∠AOB=2θ（常数θ为锐角）．拟用长度为l（l为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：
方案一 如图1，围成扇形养殖区OPQ，其中 =l；
方案二 如图2，围成三角形养殖区OCD，其中CD=l；

（1）求方案一中养殖区的面积S1；
（2）求证：方案二中养殖区的最大面积S2= ；
（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由

Answer 1

【答案】
（1）解：方案一：设此扇形所在的圆的半径为r，则l=r2θ，∴r= ．

∴S1= =

（2）证明：设OC=x，OD=y，

则l2=x2+y2﹣2xycos2θ≥2xy﹣2xycos2θ，

可得：xy≤ ，当且仅当x=y时取等号．

∴养殖区的最大面积S2= ×sin2θ=

（3）解： = ，

令f（θ）=tanθ﹣θ，则f′（θ）=sec2θ﹣1=tan2θ＞0，

∴f（θ）在 上单调递增．令tanθ0=θ0∈ ．

当θ∈ 时，选取方案一；

当θ=θ0时，选取方案一或二都可以；

当θ∈（0，θ0）时，选取方案二

【解析】（1）方案一：设此扇形所在的圆的半径为r，则l=r2θ，可得r= ．利用扇形面积计算公式可得S1 ． （2）设OC=x，OD=y，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：l2=x2+y2﹣2xycos2θ≥2xy﹣2xycos2θ，可得：xy≤ ，即可得出．（3） = ，令f（θ）=tanθ﹣θ，求导，可得f（θ）在 上单调递增．令tanθ0=θ0∈ ．对θ与θ0的大小关系分类讨论即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用扇形面积公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．