题目内容
【题目】已知向量 
， 
,函数
的图象过点
，点
与其相邻的最高点的距离为
.
（1）求
的单调递增区间；
（2）计算
；
（3）设函数
，试讨论函数
在区间
上的零点个数.
【答案】(1) 
.(2) 2018. (3)当
或
时，函数
在
上无零点；当
或
时，函数
在
上有一个零点；当
时，函数
在
有两个零点.
【解析】试题分析：(1)根据平面向量数量积的坐标表示、二倍角公式和与辅助角公式可得
,根据
的图象过点
，点
与其相邻的最高点的距离为
，确定
，从而根据正弦函数的单调性可得结果;(2)根据特殊角的三角函数及周期性可得结果；（3）
,函数
在区间
上的零点个数，即为函数
的图象与直线
在
上的交点个数.在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象，几何图形可得结果.
试题解析：(1) 
向量
， 
， 
点
为函数
图象上的一个最高点， 
点
与其相邻的最高点的距离为
， 
， 
函数
图象过点
， 
， 
， 
，由
，得
， 
的单调增区间是
.
(2) 由（1）知
的周期为
，且
， 
，而
.
(3) 
,函数
在区间
上的零点个数，即为函数
的图象与直线
在
上的交点个数.在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象如图所示，
由图象可知，①当
或
时，函数
的图象与直线
在
上的无公共点，即函数
无零点；②当
与
时，函数
的图象与直线
在
上有一个公共点，即函数
有一个零点；③当
时，函数
的图象与直线
在
上有两个公共点，即函数
有两个零点，综上，当
或
时，函数
在
上无零点；当
或
时，函数
在
上有一个零点；当
时，函数
在
有两个零点.
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