Question

【题目】如图所示，已知多面体中，四边形为菱形，为正四面体，且.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）通过证明平面平面来证明平面；

（2）如图，以菱形的两条对角线所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，利用向量法计算二面角的余弦值.

（1）证明：因为四边形为菱形，

所以，

又平面，平面，所以平面，

同理可得平面，

因为平面，，

所以平面平面

因为平面，所以平面.

（2）以菱形的两条对角线所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设，则，

因为为正四面体，所以点E坐标为，

，

因为平面平面，

所以平面与平面的法向量相同.

设平面的一个法向量为，则

，即

可取.

可取为平面的法向量.

所以，

所以二面角的余弦值为.