题目内容
【题目】如图,在三棱台中,
分别为
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)若平面
,
,
,求平面
与平面
所成角(锐角)的大小.
【答案】(Ⅰ)略;(Ⅱ)
【解析】
试题(Ⅰ)思路一:连接,设
,连接
,先证明
,从而由直线与平面平行的判定定理得
平面
;思路二:先证明平面
平面
,再由平面与平面平行的定义得到
平面
.
(Ⅱ)思路一:连接,设
,连接
,证明
两两垂直, 以
为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,利用空量向量的夹角公式求解;思路二:作
于点
,作
于点
,连接
,证明
即为所求的角,然后在三角形中求解.
试题解析:
(Ⅰ)证法一:连接,设
,连接
,
在三棱台中,
为
的中点
可得
所以四边形为平行四边形
则为
的中点
又为
的中点
所以
又平面
平面
所以平面
.
证法二:
在三棱台中,
由为
的中点
可得
所以四边形为平行四边形
可得
在中,
为
的中点,
为
的中点,
所以
又,所以平面
平面
因为平面
所以平面
(Ⅱ)解法一:
设,则
在三棱台中,
为
的中点
由,
可得四边形为平行四边形,
因此
又平面
所以平面
在中,由
,
是
中点,
所以
因此两两垂直,
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
所以
可得
故
设是平面
的一个法向量,则
由可得
可得平面的一个法向量
因为是平面
的一个法向量,
所以
所以平面与平面所成的解(锐角)的大小为
解法二:
作于点
,作
于点
,连接
由平面
,得
又
所以平面
因此
所以即为所求的角
在中,
由∽
可得
从而
由平面
平面
得
因此
所以
所以平面与平面
所成角(锐角)的大小为
.
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