题目内容
【题目】已知椭圆方程为
，左，右焦点分别为
，上顶点为A，
是面积为4的直角三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过
作直线与椭圆交于P，Q两点，若
，求
面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由
是面积为4的等腰直角三角形，可得
，结合三角形的面积公式解方程可得
，求得
，进而得到所求椭圆方程；
（2）过
直线分斜率存在和不存在分别求解，当斜率存在时设直线方程设为
，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及向量数量积的坐标表示
，结合条件可得
的范围，再由三角形的面积公式可得
的面积
，结合运用韦达定理，可得所求范围.
解：（1）由已知可得等腰直三角形，则
，解得
，
.
所以椭圆的标准方程方程为.
（2）设
，
.
①当直线
斜率k不存在时
，
，
，
这与
不符.
②当直线斜率k存在时
可设直线的方程为，联立方程
，
代入化归消元得
，
所以
，
.
则
.
，
点
到直线
的距离
.
所以的面积
.
设
，则
，
.
因为，所以
，
所以
.
综上所述，面积的取值范围是.
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