Question

5．已知圆C的一条直径的端点分别是A（0，1），B（2，1）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若过点（0，-2）的直线l与圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆心与半径，即可求出求圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用过点（0，-2）的直线l与圆C相切，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵A（0，1），B（2，1）是圆C的一条直径的两端点，
∴圆心C是AB的中点，其坐标为（1，1）（1分）
圆C半径|AC|=1 （2分）
∴圆C的方程是：（x-1）²+（y-1）²=1（5分）
（Ⅱ）（1）当直线l斜率存在时，l的方程可设为：y=kx-2，即kx-y-2=0．（6分）
∵直线l与圆C相切，
∴圆心C（1，1）到直线kx-y-2=0的距离等于半径1，
即$\frac{{|{k•1-1-2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，（7分）
解得$k=\frac{4}{3}$．（8分）
直线l的方程为$\frac{4}{3}x-y-2=0$，即4x-3y-6=0（9分）
（2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=0，这时，圆心C（1，1）到直线l的距离为1恰等于圆C的半径，直线l与圆也相切
∴直线l的方程为4x-3y-6=0或x=0（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．