Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow{b}$=（m，2），$\overrightarrow{c}$=（3，4），且（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{c}$．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ．

Answer 1

分析 由已知首先求出$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$的坐标，然后利用向量的数量积公式关于m的方程，解之；然后利用数量积公式求夹角．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow{b}$=（m，2），$\overrightarrow{c}$=（3，4），
∴$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$=（1，3）-（3m，6）=（1-3m，-3）．（2分）
∵（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{c}$．
∴（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$．=（1-3m，-3）•（3，4）=3（1-3m）+（-3）×4=-9m-9=0（5分）
解得m=-1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow{b}$=（-1，2），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=5，（7分）
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{5}{\sqrt{10}\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．（10分）
∵θ∈[0，π]，
∴$θ=\frac{π}{4}$．（12分）

点评 本题考查了平面向量数量积的坐标运算以及向量垂直的性质运用；属于基础题．