Question

15．已知b＞a＞0，求b²+$\frac{1}{a（b-a）}$的最小值．

Answer 1

分析 两次利用基本不等式即可得出．

解答 解：∵b＞a＞0，∴b-a＞0，a（b-a）＞0，$\frac{1}{a（b-a）}$＞0．
∴b²+$\frac{1}{a（b-a）}$=[a+（b-a）]²+$\frac{1}{a（b-a）}$≥4a（b-a）+$\frac{1}{a（b-a）}$≥2$\sqrt{4a（b-a）×\frac{1}{a（b-a）}}$=4．
当且仅当a=b-a时，a²=$\frac{1}{2}$，即a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=$\sqrt{2}$时取等号
∴b²+$\frac{1}{a（b-a）}$的最小值为4．

点评 本题考查利用基本不等式的性质求最值，利用条件进行构造是解决本题的关键；注意：一正二定三相等．