题目内容
6．设f°（x）=cosx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，fn（x）=f′n-1（x）（n∈N*），则f2011（x）=（ ）| A． | cosx | B． | -sinx | C． | -cosx | D． | sinx |
分析 由已知，f0（x）=cosx，f1（x）=f0′（x）=-sinx，f2（x）=f1′（x）=-cosx，f3（x）=f2′（x）=sinx，f4（x）=f3′（x）=cosx，发现fn（x）以4为周期，结果循环出现，利用此规律将n=2011转化为n=3的情况求解．
解答 解：∵f0（x）=cosx，
∴f1（x）=f0′（x）=-sinx，
f2（x）=f1′（x）=-cosx，
f3（x）=f2′（x）=sinx，
f4（x）=f3′（x）=cosx
…
从第五项开始，fn（x）的解析式重复出现，每4次一循环．
∴f2011（x）=f4×502+3（x）=f3（x）=sinx，
故选：D．
点评 本题考查函数求导运算，由于f2011（x）中下标数值2011较大，所以探究fn（x）的周期性成为必要与自然，属于基础题．
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