题目内容

已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合,且该椭圆的长轴长为,是椭圆上的的动点.
(1)求椭圆标准方程;
(2)设动点满足:,直线的斜率之积为,求证:存在定点
使得为定值,并求出的坐标;
(3)若在第一象限,且点关于原点对称,点轴的射影为,连接 并延长交椭圆于
,求证:以为直径的圆经过点.

(1);(2)存在;(3)证明过程详见试题解析.

解析试题分析:(1)由双曲线的焦点与椭圆的焦点重合求出椭圆中的,再由,求出所求椭圆方程为;(2)先设,由,结合椭圆的标准方程可以得到使得为定值;(3)要证明以为直径的圆经过点,就是证明,详见解析.
试题解析:(1)解:由题设可知:双曲线的焦点为
所以椭圆中的
又由椭圆的长轴为4得
 
故椭圆的标准方程为: 
(2)证明:设,由可得:

由直线的斜率之积为可得:
 ,即 
由①②可得:…6分
M、N是椭圆上,故
,即 
由椭圆定义可知存在两个定点,使得动点P到两定点距离和为定值;
(3)证明:设
由题设可知 
由题设可知斜率存在且满足.……③
 
将③代入④可得:…⑤  
在椭圆,故 
所以 
因此以为直径的圆经过点.
考点:直线与圆锥曲线.

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