已知抛物线C:y2＝2px的焦点为F.抛物线C与直线l1:y＝-x的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程,(2)不过原点的直线l2与l1垂直.且与抛物线交于不同的两点A.B.若线段AB的中点为P.且|OP|＝|PB|.求△FAB的面积．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知抛物线C：y²＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l₁：y＝－x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)不过原点的直线l₂与l₁垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．

(1) y²＝8x (2) 24

解析

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给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴上的一个端点到F的距离为.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”的方程.
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线l₁,l₂使得l₁,l₂与椭圆C都只有一个交点,且l₁,l₂分别交其“准圆”于点M,N.
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求l₁,l₂的方程;
②求证:|MN|为定值.

如图，直线，抛物线，已知点在抛物线上，且抛物线上的点到直线的距离的最小值为．

（1）求直线及抛物线的方程；
（2）过点的任一直线（不经过点）与抛物线交于、两点，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，．问：是否存在实数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．

抛物线的方程为，过抛物线上一点()作斜率为的两条直线分别交抛物线于两点(三点互不相同)，且满足（且）．
（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）设直线上一点，满足，证明线段的中点在轴上；
（3）当=1时，若点的坐标为，求为钝角时点的纵坐标的取值范围.

已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.
（1）求该椭圆的方程；
（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合,且该椭圆的长轴长为,是椭圆上的的动点.
（1）求椭圆标准方程；
（2）设动点满足：，直线与的斜率之积为，求证：存在定点，
使得为定值，并求出的坐标；
（3）若在第一象限，且点关于原点对称，点在轴的射影为，连接并延长交椭圆于
点，求证：以为直径的圆经过点.

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数k，直线(k＋1)x＋(k－)y－(3k＋)＝0恒过定点F.设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为2＋.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设(m，n)是椭圆C上的任意一点，圆O：x²＋y²＝r²(r＞0)与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l₁：mx＋ny＝1和l₂：mx＋ny＝4的位置关系．

如图，焦距为的椭圆的两个顶点分别为和，且与n，共线．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆有两个不同的交
点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围．