题目内容

已知分别是椭圆的左,右顶点,点在椭圆 上,且直线与直线的斜率之积为

(1)求椭圆的标准方程;
(2)点为椭圆上除长轴端点外的任一点,直线与椭圆的右准线分别交于点
①在轴上是否存在一个定点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由;
②已知常数,求的取值范围.

(1);(2)①存在点的坐标为,②.

解析试题分析:(1)利用题目条件建立关于a,b,c的方程组,解方程组即可;
(2)①对于存在性问题,可以先假设点存在,然后根据以及点P在椭圆上直线与椭圆的右准线分别交于点等相关条件建立方程,看看点E的横坐标是不是定值,如果是即为所求,如果不是也就说明了不存在;②利用向量的坐标运算,计算,进而求出的表达式,在利用函数知识求取值范围.

试题解析:(1)由题意得,
 , ∴
由点在椭圆C上,则有:
 ,                2分
由以上两式可解得
∴椭圆方程为.         4分
(2)①椭圆右准线的方程为.                                  5分
假设存在一个定点,使得.设点().
直线的方程为,令,∴点坐标为
直线的方程为,令
∴点坐标为.                     7分
,则,∵
.             9分
∵点在椭圆上,∴,∴ ,代入上式,得 ,
,∴点的坐标为.                       11分
②∵

,∴
 .                    13分
设函数,定义域为
时,即时,上单调递减,的取值范围为

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