题目内容
17.如果数列a1,$\frac{a_2}{a_1}$,$\frac{a_3}{a_2}$,…,$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$,…是首项为1,公比为$\sqrt{2}$的等比数列,${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}}}$,n≥2,$\lim_{n→∞}({b_2}+{b_3}…+{b_n})$=4.分析 运用等比数列的通项和恒等式an=a1•$\frac{a_2}{a_1}$•$\frac{a_3}{a_2}$•…•$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$,化简整理,再由对数的运算性质和裂项相消求和,结合数列极限的性质,即可计算得到.
解答 解:由题意可得an=a1•$\frac{a_2}{a_1}$•$\frac{a_3}{a_2}$•…•$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$=1•$\sqrt{2}$•($\sqrt{2}$)2•…•($\sqrt{2}$)n-1
=$(\sqrt{2})^{\frac{n(n-1)}{2}}$,
${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}}}$=$\frac{1}{\frac{n(n-1)}{2}lo{g}_{2}\sqrt{2}}$=$\frac{4}{n(n-1)}$=4($\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$),
即有$\lim_{n→∞}({b_2}+{b_3}…+{b_n})$=$\underset{lim}{n→∞}$4(1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$)
=$\underset{lim}{n→∞}$4(1-$\frac{1}{n}$)=4-4$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{n}$=4-0=4.
故答案为:4.
点评 本题考查等比数列的通项和数列恒等式的运用,同时考查数列求和的方法:裂项相消求和,考查数列极限的运算求解能力,属于中档题.
练习册系列答案
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②若m∥α,m∥n则n∥α;
③若m⊥α,m∥β,则α⊥β;
④若m⊥α,α∥β,则m⊥β.
其中的正确命题序号是( )
①若m∥α,m∥β,则α∥β;
②若m∥α,m∥n则n∥α;
③若m⊥α,m∥β,则α⊥β;
④若m⊥α,α∥β,则m⊥β.
其中的正确命题序号是( )
A. | ③④ | B. | ②④ | C. | ①② | D. | ①③ |
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