题目内容
【题目】如图,在直三棱柱中,
,
,
,
.
(1)证明:平面
;
(2)在线段上是否存在点
,使得平面
与平面
所成的锐二面角为
,若存在,求出线段
的长度;若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,
【解析】
(1)易得,同时由直三棱柱的性质可得平面
平面
,又
,所以
平面
,得
,故可得
平面
;
(2)分别以,
,
方向为
,
,
轴正方向建立空间直角坐标系
,
设,则
,
,由空间向量法可得
的值.
(1)由已知可得四边形为正方形,所以
,
因为几何体是直三棱柱,
所以平面平面
,
又,所以
平面
,得
,
因为,所以
平面
,
(2)如图,
由已知,
,
两两垂直,分别以
,
,
方向为
,
,
轴正方向建立空间直角坐标系
,则
,
,
,设
,则
,所以
,
,
设平面的一个法向量为
,
则,
,
取,得
,
平面的一个法向量为
.
所以
解得,因为
,所以
,
所以线段上存在点
,且
,使得平面
与平面
所成的锐二面角为
.
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